5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=х2 и у=2- х²

Решение:

Для начала найдем точки пересечения графиков функций \(y = x^2\) и \(y = 2 - x^2\):

\[x^2 = 2 - x^2\]

\[2x^2 = 2\]

\[x^2 = 1\]

\[x = \pm 1\]

Точки пересечения: \(x = -1\) и \(x = 1\).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Для этого вычислим определенный интеграл от разности функций в пределах от \(-1\) до \(1\):

\[S = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx\]

\[S = \left[ 2x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-1}^{1}\]

\[S = \left( 2(1) - \frac{2}{3}(1)^3 \right) - \left( 2(-1) - \frac{2}{3}(-1)^3 \right)\]

\[S = \left( 2 - \frac{2}{3} \right) - \left( -2 + \frac{2}{3} \right)\]

\[S = 2 - \frac{2}{3} + 2 - \frac{2}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3}\]

Ответ: \(\frac{8}{3}\)