Найти площадь параллелограмма и треугольника ABC, построенных на векторах $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, если $A(2;-1;3)$, $B(1;1;1)$, $C(4;-1;3)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найти площадь параллелограмма и треугольника ABC, построенных на векторах $\overrightarrow{AB}$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Сначала найдём координаты векторов:

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2;\,1-(-1);\,1-3)=(-1;2;-2),\]

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(4-2;\,-1-(-1);\,3-3)=(2;0;0).\]

Вычислим векторное произведение:

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&2&-2\\2&0&0\end{vmatrix}=(0;-4;-4).\]

Его длина равна площади параллелограмма:

\[S_{\text{пар}}=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{0^2+(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2.\]

Площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма:

\[S_{\triangle ABC}=\frac12 S_{\text{пар}}=2\sqrt2.\]

Ответ: площадь параллелограмма — $4\sqrt2$, площадь треугольника ABC — $2\sqrt2$.

Найти площадь параллелограмма и треугольника ABC, построенных на векторах \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), если \(A(2;-1;3)\), \(B(1;1;1)\), \(C(4;-1;3)\).