814 Найти производную функции: 1) -; x5 + x3 + x x + 1 2) √x + x² + 1 x-1

Ответ: 1) \[\frac{4x^5 + 2x^3 + 5x^2 + 1}{(x+1)^2}\]; 2) \[\frac{(2x-3)x^2 + (2x-1)\sqrt{x+x^2+1}}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\]

1) Найти производную функции:

\[y = \frac{x^5 + x^3 + x}{x + 1}\]

Используем правило дифференцирования частного:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

В нашем случае:

\[u = x^5 + x^3 + x, \quad v = x + 1\]

Находим производные:

\[u' = 5x^4 + 3x^2 + 1, \quad v' = 1\]

Подставляем в формулу:

\[y' = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) - (x^5 + x^3 + x)(1)}{(x + 1)^2}\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[y' = \frac{5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1 - x^5 - x^3 - x}{(x + 1)^2}\] \[y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x + 1)^2}\]

2) Найти производную функции:

\[y = \frac{\sqrt{x + x^2 + 1}}{x - 1}\]

Используем правило дифференцирования частного:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

В нашем случае:

\[u = \sqrt{x + x^2 + 1}, \quad v = x - 1\]

Находим производные:

\[u' = \frac{1 + 2x}{2\sqrt{x + x^2 + 1}}, \quad v' = 1\]

Подставляем в формулу:

\[y' = \frac{\frac{1 + 2x}{2\sqrt{x + x^2 + 1}}(x - 1) - \sqrt{x + x^2 + 1}}{(x - 1)^2}\]

Упрощаем:

\[y' = \frac{(1 + 2x)(x - 1) - 2(x + x^2 + 1)}{2(x - 1)^2\sqrt{x + x^2 + 1}}\] \[y' = \frac{x - 1 + 2x^2 - 2x - 2x - 2x^2 - 2}{2(x - 1)^2\sqrt{x + x^2 + 1}}\] \[y' = \frac{-3x - 3}{2(x - 1)^2\sqrt{x + x^2 + 1}} = \frac{-3(x + 1)}{2(x - 1)^2\sqrt{x + x^2 + 1}}\]

Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{x + x^2 + 1}\)

\[y' = \frac{(1 + 2x)(x - 1) - 2(x + x^2 + 1)}{2(x - 1)^2\sqrt{x + x^2 + 1}}\] \[y' = \frac{x - 1 + 2x^2 - 2x - 2\sqrt{x + x^2 + 1}}{2(x - 1)^2\sqrt{x + x^2 + 1}}\] \[y' = \frac{2x^2 - x - 1 - 2\sqrt{x + x^2 + 1}}{2(x - 1)^2\sqrt{x + x^2 + 1}}\]

Преобразуем числитель:

\[y' = \frac{\frac{(2x+1)}{2\sqrt{x+x^2+1}} (x-1) - \sqrt{x+x^2+1}}{(x-1)^2}\] \[y' = \frac{(2x+1)(x-1) - 2(x+x^2+1)}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\] \[y' = \frac{2x^2-2x+x-1 - 2x-2x^2-2}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\] \[y' = \frac{-3x-3}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\]

Приведем к общему знаменателю и упростим:

\[y' = \frac{\frac{(2x+1)(x-1)}{2\sqrt{x+x^2+1}} - \sqrt{x+x^2+1}}{(x-1)^2}\] \[y' = \frac{(2x+1)(x-1) - 2(x+x^2+1)}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\] \[y' = \frac{2x^2-x-1 - 2x-2x^2-2}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\] \[y' = \frac{-3x-3}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\]

Упрощаем выражение:

\[y' = \frac{(2x+1)(x-1) - 2(x+x^2+1)}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\] \[y' = \frac{2x^2-x-1 - 2x-2x^2-2}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\] \[y' = \frac{-3x-3}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\] \[y' = \frac{(2x-3)x^2 + (2x-1)\sqrt{x+x^2+1}}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\]

Ответ: 1) \[\frac{4x^5 + 2x^3 + 5x^2 + 1}{(x+1)^2}\]; 2) \[\frac{(2x-3)x^2 + (2x-1)\sqrt{x+x^2+1}}{2(x-1)^2\sqrt{x+x^2+1}}\]