17. Найти SQ и угол RQT.

Дано прямоугольный треугольник RPQ, где угол P прямой, RS - биссектриса угла PRQ. 1. Найдём SQ. Треугольник RQT - равнобедренный, так как углы PRQ и RQT равны (отмечены на рисунке). Значит, RQ = RT. Аналогично, треугольник RPS - прямоугольный. По теореме о биссектрисе угла в треугольнике, биссектриса делит сторону, на которую она опущена, в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника. То есть, \[\frac{PS}{SQ} = \frac{RP}{RQ}\] Также, треугольник RQT равнобедренный, значит RQ = RT. Пусть SQ = x, тогда QT = x, и RT = x. PT = PS + SQ + QT = 7.8 + x + x = 7.8 + 2x. Так как RT = RQ, то RQ = x. В прямоугольном треугольнике RPQ, по теореме Пифагора: \[RP^2 + PQ^2 = RQ^2\] \[RP^2 + (PS+SQ)^2 = RQ^2\] Необходимо найти RP, чтобы решить это уравнение. Рассмотрим треугольник RPS - прямоугольный. По теореме Пифагора: \[RP^2 + PS^2 = RS^2\] \[RP^2 + 7.8^2 = 15.6^2\] \[RP^2 = 15.6^2 - 7.8^2\] \[RP^2 = 243.36 - 60.84 = 182.52\] \[RP = \sqrt{182.52} = 13.51\ \text{(примерно)}\] Подставим RP в уравнение \(RP^2 + (PS+SQ)^2 = RQ^2\): \[182.52 + (7.8 + x)^2 = x^2\] \[182.52 + 60.84 + 15.6x + x^2 = x^2\] \[243.36 + 15.6x = 0\] \[15.6x = -243.36\] \[x = \frac{-243.36}{15.6} = -15.6\] Получается отрицательное значение для SQ, что невозможно в геометрии. Необходимо пересмотреть условие и ход решения. Угол RQT должен быть равен углу QRT, т.к. треугольник RQT равнобедренный. Т.к. RS - биссектриса угла PRQ, то угол PRS равен углу SRQ. Значит угол SRQ = углу RQT. Рассмотрим треугольник RSQ. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит, угол RSQ = 180 - угол SRQ - угол RQS. 2. Найдём угол RQT. Так как углы RQT и QRT равны, обозначим их как α. Угол PRQ равен 2α, так как RS - биссектриса. В прямоугольном треугольнике RPQ сумма острых углов равна 90 градусов. Значит, угол PQR + угол PRQ = 90 градусов. Угол PQR = угол PQS + угол RQT = угол PQS + α. Таким образом, угол PQS + α + 2α = 90. Угол PQS + 3α = 90. Т.к. треугольник RQT равнобедренный, то углы при основании равны, то есть $$\angle RQT = \angle QRT$$. Обозначим этот угол как $$x$$. Так как RS - биссектриса угла PRQ, то $$\angle PRS = \angle QRS = x$$. В прямоугольном треугольнике RPQ, $$\angle RPQ = 90^\circ$$. Тогда $$\angle PQR + \angle PRQ = 90^\circ$$, или $$\angle PQS + x + 2x = 90^\circ$$, то есть $$\angle PQS + 3x = 90^\circ$$. К сожалению, без дополнительных данных точно определить значение угла RQT и SQ не представляется возможным. Ответ: Невозможно определить без дополнительных данных.