Найти все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции $y=4|x+2|-x^2-3x-2$ ровно три общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найти все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции $y=4|x+2|-x^2-3x-2$ ровно три общие…$ Фото задания

Найти все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции $y=4|x+2|-x^2-3x-2$ ровно три общие точки.

Accepted Answer

Разобьём функцию по точке излома $x=-2$.

При $x<-2$: $y=-x^2-7x-10=-(x+5)(x+2)$. Максимум этой ветви достигается при $x=-\frac72$ и равен $\frac94$; значение на границе $x=-2$ равно 0, но граница в этот промежуток не входит.

При $x\ge -2$: $y=-x^2+x+6=-(x-3)(x+2)$. Вершина находится при $x=\frac12$, значение в ней равно $\frac{25}{4}$; значение при $x=-2$ равно 0.

При $m=0$ пересечения имеют абсциссы $-5,-2,3$ — ровно три точки. При $m=\frac94$ левая ветвь имеет одно касание, а правая пересекается с прямой в двух точках — всего три. При других значениях число пересечений не равно трём.

Ответ: $m=0$ или $m=\frac94$.

Найти все значения параметра \(m\), при которых прямая \(y=m\) имеет с графиком функции \(y=4|x+2|-x^2-3x-2\) ровно три общие точки.

Ответ: