Найти все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции $y=4|x+6|-x^2-11x-30$ ровно три общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найти все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции $y=4|x+6|-x^2-11x-30$ ровно три…$ Фото задания

Найти все значения параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком функции $y=4|x+6|-x^2-11x-30$ ровно три общие точки.

Accepted Answer

Разделим график по точке излома $x=-6$.

При $x<-6$: $y=-x^2-15x-54=-(x+6)(x+9)$. Это ветвь параболы с максимумом $\frac94$; значение в точке $x=-6$ равно 0, но эта точка в данном промежутке не входит.

При $x\ge -6$: $y=-x^2-7x-6=-(x+1)(x+6)$. Вершина находится при $x=-\frac72$, значение в ней равно $\frac{25}{4}$; при $x=-6$ значение равно 0.

При $m=0$ пересечения имеют абсциссы $-9,-6,-1$ — всего три точки. При $m=\frac94$ левая ветвь касается прямой в одной точке, а правая пересекает её в двух точках — также всего три. При других значениях число пересечений не равно трём.

Ответ: $m=0$ или $m=\frac94$.

Найти все значения параметра \(m\), при которых прямая \(y=m\) имеет с графиком функции \(y=4|x+6|-x^2-11x-30\) ровно три общие точки.

Ответ: