Найти все значения параметра \(m\), при которых прямая \(y=m\) имеет с графиком функции \(y=4|x-3|-x^2+8x-15\) ровно три общие точки.

Рассмотрим отдельно промежутки по разные стороны от точки излома \(x=3\).

При \(x<3\): \(y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1\). Максимум этой ветви равен 1; значение при \(x=3\) равно 0, но точка не входит в этот промежуток.

При \(x\ge 3\): \(y=-x^2+12x-27=-(x-6)^2+9\). Ветвь начинается в точке с абсциссой 3 и значением 0, а её максимум равен 9.

При \(m=0\) пересечения имеют абсциссы \(1,3,9\), то есть их три. При \(m=1\) левая ветвь касается прямой в вершине, а правая пересекает её в двух точках; всего получается три пересечения. Для прочих значений число пересечений иное.

Ответ: \(m=0\) или \(m=1\).