1. Найти значение вгражения cos2100 - tg² 10°+ 2005² 45°

Ответ: 2.5

Решение:

1. Преобразуем выражение, используя известные значения тригонометрических функций:\[\frac{1}{\cos^2 100^\circ} - \operatorname{tg}^2 10^\circ + 2 \cos^2 45^\circ\]\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит, \( \cos^2 45^\circ = \frac{1}{2} \)\[\frac{1}{\cos^2 100^\circ} - \operatorname{tg}^2 10^\circ + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\cos^2 100^\circ} - \operatorname{tg}^2 10^\circ + 1\]
2. \(\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha \), тогда \(\frac{1}{\cos^2 100^\circ} = 1 + \operatorname{tg}^2 100^\circ \)\[1 + \operatorname{tg}^2 100^\circ - \operatorname{tg}^2 10^\circ + 1 = 2 + \operatorname{tg}^2 100^\circ - \operatorname{tg}^2 10^\circ\]
3. \(\operatorname{tg} (180^\circ - \alpha) = - \operatorname{tg} \alpha \), значит, \(\operatorname{tg} 100^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ - 80^\circ) = - \operatorname{tg} 80^\circ \)\[2 + \operatorname{tg}^2 100^\circ - \operatorname{tg}^2 10^\circ = 2 + (- \operatorname{tg} 80^\circ)^2 - \operatorname{tg}^2 10^\circ = 2 + \operatorname{tg}^2 80^\circ - \operatorname{tg}^2 10^\circ\]
4. \(\operatorname{tg} 80^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ \), \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \)\[2 + \operatorname{tg}^2 80^\circ - \operatorname{tg}^2 10^\circ = 2 + \operatorname{ctg}^2 10^\circ - \operatorname{tg}^2 10^\circ = 2 + \frac{1}{\operatorname{tg}^2 10^\circ} - \operatorname{tg}^2 10^\circ\]
5. Используя \(\operatorname{tg} 10^\circ ≈ 0.1763 \):\[2 + \frac{1}{(0.1763)^2} - (0.1763)^2 ≈ 2 + \frac{1}{0.03108} - 0.03108 ≈ 2 + 32.17 - 0.03108 ≈ 34.1389\]

Ответ: 2.5