5. Найти значения х, при которых значения производной функции f(x) = 1+ x x² +3 отрицательно.

5. Найдем значения $$x$$, при которых значения производной функции $$f(x) = \frac{1+x}{x^2 + 3}$$ отрицательно.

Найдем производную: $$f'(x) = \frac{(1+x)'(x^2+3) - (1+x)(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}$$.

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+3) - (1+x) \cdot 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2 + 3 - 2x - 2x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2}$$.

Найдем, когда $$f'(x) < 0$$. Так как знаменатель всегда положителен, то нам нужно, чтобы числитель был отрицательным. То есть, $$-x^2 - 2x + 3 < 0$$.

$$x^2 + 2x - 3 > 0$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 + 2x - 3 = 0$$.

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$. $$x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$, $$x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$.

Тогда $$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) > 0$$. Это неравенство выполняется, если $$x < -3$$ или $$x > 1$$.

Ответ: $$x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$$.