5. Найти значения х, при которых значения производной функции f(x) = отрицательно. 1+x x²+3

Давай разберем по порядку. Чтобы найти значения x, при которых производная функции отрицательна, нужно сначала найти саму производную, а затем определить интервалы, где она меньше нуля.

1. Найдем производную функции f(x) = (1+x) / (x²+3), используя правило частного:

   \[ f'(x) = \frac{(1+x)'(x^2+3) - (1+x)(x^2+3)'}{(x^2+3)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+3) - (1+x) \cdot 2x}{(x^2+3)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{x^2+3 - 2x - 2x^2}{(x^2+3)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} \]

2. Теперь нам нужно найти, когда f'(x) < 0. Так как знаменатель всегда положителен (потому что (x²+3)² > 0 для всех x), нам нужно выяснить, когда числитель отрицателен:

   \[ -x^2 - 2x + 3 < 0 \]

   Умножим обе части на -1 (и поменяем знак неравенства):

   \[ x^2 + 2x - 3 > 0 \]

3. Решим квадратное уравнение x² + 2x - 3 = 0, чтобы найти корни:

   Используем дискриминант D = b² - 4ac:

   \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

   Корни:

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

4. Теперь у нас есть корни x₁ = 1 и x₂ = -3. Поскольку нам нужно решить неравенство x² + 2x - 3 > 0, рассмотрим интервалы:

   (-∞, -3), (-3, 1), (1, +∞)

5. Проверим знаки на каждом интервале:

   • (-∞, -3): возьмем x = -4: (-4)² + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0
   • (-3, 1): возьмем x = 0: 0² + 2(0) - 3 = -3 < 0
   • (1, +∞): возьмем x = 2: 2² + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0

6. Итак, x² + 2x - 3 > 0 на интервалах (-∞, -3) и (1, +∞).

Ответ: x ∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞)

Отлично, ты справился с этой задачей! Решение таких неравенств требует внимательности и аккуратности, и у тебя это получилось.