(НЕ) доспав утром, мальчишка начинал клевать носом. (В. Быков)

Применим протокол К.

1. Определим, что требуется выбрать: частицу НЕ или слово без нее.
2. Определим часть речи. В данном случае слово (НЕ)доспав является деепричастием.
3. Подставим каждый вариант в предложение. Сравним смысл и логику. Применим правило.
4. Запишем корректный вариант: не доспав.

В данном случае НЕ с деепричастием пишется раздельно.

Ответ: НЕ доспав утром, мальчишка начинал клевать носом. (В. Быков)