620. Не производя вычислений по формуле корней квадратного определите знаки корней уравнения: a) x² - 17x + 4 = 0; 6) x² + 20x + 5 = 0; в) x² + 30x - 1 = 0; г) x² - 25x - 2 = 0; д) 3х2 – 5x + 2 = 0; e) 2x² + 9x + 3 = 0; ж) 5x² + 10x − 4 = 0; 3) 1/6 x² −11x−8=0.

Для определения знаков корней квадратного уравнения, не вычисляя их, можно воспользоваться теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ корни уравнения, выполняются следующие соотношения:

• $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
• $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Знаки корней можно определить, анализируя знаки коэффициентов b/a и c/a.

1. a) $$x^2 - 17x + 4 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{-17}{1} = 17 > 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{1} = 4 > 0$$

   Оба корня положительные.

2. б) $$x^2 + 20x + 5 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{20}{1} = -20 < 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{5}{1} = 5 > 0$$

   Оба корня отрицательные.

3. в) $$x^2 + 30x - 1 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{30}{1} = -30 < 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{1} = -1 < 0$$

   Корни разных знаков.

4. г) $$x^2 - 25x - 2 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{-25}{1} = 25 > 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{1} = -2 < 0$$

   Корни разных знаков.

5. д) $$3x^2 - 5x + 2 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3} > 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} > 0$$

   Оба корня положительные.

6. e) $$2x^2 + 9x + 3 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{9}{2} < 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} > 0$$

   Оба корня отрицательные.

7. ж) $$5x^2 + 10x - 4 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{10}{5} = -2 < 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{5} < 0$$

   Корни разных знаков.

8. з) $$\frac{1}{6}x^2 - 11x - 8 = 0$$

   • $$x_1 + x_2 = -\frac{-11}{\frac{1}{6}} = 66 > 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-8}{\frac{1}{6}} = -48 < 0$$

   Корни разных знаков.

Ответ: a) Оба корня положительные; б) Оба корня отрицательные; в) Корни разных знаков; г) Корни разных знаков; д) Оба корня положительные; e) Оба корня отрицательные; ж) Корни разных знаков; з) Корни разных знаков.