Некоторое натуральное число a разделили с остатком на некоторое натуральное число b. Как изменится неполное частное и остаток, если делимое увеличить: а) в 2 раза; б) в 5 раз; в) в k раз (k ∈ N)? Что вы замечаете? А что будет происходить при этом с неполным частным?

Пусть при делении a на b получены неполное частное q и остаток r. Тогда a = bq + r, где 0 ≤ r < b.

Если делимое умножить на k, получим ka = kbq + kr. Разделим kr на b: пусть kr = bt + s, где 0 ≤ s < b. Тогда ka = b(kq + t) + s.

Значит, после умножения делимого на k остаток равен остатку от деления kr на b, а новое неполное частное равно kq + t, где t — неполное частное от деления kr на b. В частности, если исходный остаток r равен нулю, частное умножается на k, а остаток остаётся нулём.

Для увеличения в 2, 5 и k раз применяются соответственно эти же правила с множителями 2, 5 и k. Числовые значения частного и остатка определить нельзя без конкретных a, b или исходных q и r. Нижняя часть вопроса обрезана, поэтому его продолжение неразборчиво.