5. Нихромовая проволока площадью поперечного сечения S = = 0,42 мм² и длиной l = 2,0 м, намотанная в виде спирали, используется в нагревателе воды. Определите массу воды, которую можно нагреть от температуры t₁ = 20 °С до температуры t₂ = 100 °С за время τ = 5,5 мин, если КПД нагревателя η = 80%. Напряжение на концах проволоки U = 200 В. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/кг·°С , удельное сопротивление нихрома ρ = 1,1 Ом·мм²/м.

1) Определим количество теплоты, необходимое для нагрева воды от 20 °C до 100 °C:

$$Q = mc(t_2 - t_1)$$, где m - масса воды, c - удельная теплоемкость воды, t₁ и t₂ - начальная и конечная температуры соответственно.

2) Определим количество теплоты, выделяемое нагревателем за время τ:

$$Q_{\text{выд}} = P \cdot \tau = \frac{U^2}{R} \cdot \tau$$, где P - мощность нагревателя, U - напряжение на концах нагревателя, R - сопротивление нихромовой проволоки, τ - время работы нагревателя.

3) Определим сопротивление нихромовой проволоки:

$$R = \rho \frac{l}{S}$$, где ρ - удельное сопротивление нихрома, l - длина проволоки, S - площадь поперечного сечения.

4) Учитывая КПД нагревателя η, полезная теплота равна:

$$Q = \eta Q_{\text{выд}} = \eta \frac{U^2}{R} \tau = \eta \frac{U^2}{\rho \frac{l}{S}} \tau = \eta \frac{U^2 S}{\rho l} \tau$$

5) Приравняем выражение для Q к выражению для mc(t₂ - t₁) и выразим массу воды m:

$$mc(t_2 - t_1) = \eta \frac{U^2 S}{\rho l} \tau$$

$$m = \frac{\eta U^2 S \tau}{c \rho l (t_2 - t_1)}$$

6) Подставим известные значения: η = 80% = 0,8, U = 200 В, S = 0,42 мм² = 0,42·10⁻⁶ м², τ = 5,5 мин = 330 с, c = 4,2 кДж/(кг·°C) = 4200 Дж/(кг·°C), ρ = 1,1 Ом·мм²/м = 1,1·10⁻⁶ Ом·м, l = 2,0 м, t₁ = 20 °C, t₂ = 100 °C.

$$m = \frac{0,8 \cdot (200 \text{ В})^2 \cdot 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 330 \text{ с}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 2 \text{ м} \cdot (100 - 20) \text{ °C}} = \frac{0,8 \cdot 40000 \cdot 0,42 \cdot 330}{4200 \cdot 1,1 \cdot 2 \cdot 80} \text{ кг} = \frac{4435200}{739200} \text{ кг} \approx 6 \text{ кг}$$

Ответ: 6 кг