Номер 14. В амфитеатре 19 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Пошаговое решение:

1. Обозначим количество мест в n-м ряду как \( a_n \). По условию, \( a_3 = 25 \) и \( a_7 = 37 \).
2. Количество рядов между 3-м и 7-м равно \( 7 - 3 = 4 \).
3. Разность между количеством мест в 7-м и 3-м ряду равна \( a_7 - a_3 = 37 - 25 = 12 \).
4. Так как это арифметическая прогрессия, разность между соседними рядами (d) можно найти, разделив общую разность на количество интервалов: \( d = \frac{12}{4} = 3 \) места.
5. Теперь найдем количество мест в первом ряду (\( a_1 \)), используя формулу n-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Для 3-го ряда: \( 25 = a_1 + (3-1) · 3 \) => \( 25 = a_1 + 6 \) => \( a_1 = 25 - 6 = 19 \) мест.
6. Наконец, найдем количество мест в последнем, 19-м ряду (\( a_{19} \)): \( a_{19} = a_1 + (19-1)d \) => \( a_{19} = 19 + 18 · 3 \) => \( a_{19} = 19 + 54 \) => \( a_{19} = 73 \) места.

Ответ: 73 места