Номер: 4AF24D Дайте развернутый ответ. Решите уравнение х = (x - 2)².

Ответ: x = 1 и x = 4

Решение:

Запишем уравнение:

\[x^4 = (x-2)^2\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[x^2 = |x-2|\]

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \(x-2 \ge 0\) или \(x \ge 2\). Тогда имеем:

\[x^2 = x - 2\] \[x^2 - x + 2 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7\]

Так как дискриминант отрицательный, в этом случае уравнение не имеет решений.

Случай 2: \(x-2 < 0\) или \(x < 2\). Тогда имеем:

\[x^2 = -(x - 2)\] \[x^2 = -x + 2\] \[x^2 + x - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Оба корня удовлетворяют условию \(x < 2\).

Но так как в условии была четвертая степень, нужно проверить корни.

Если х = -2, то (-2)^4 = 16, (-2-2)^2 = (-4)^2 = 16. Подходит.

Если х = 1, то (1)^4 = 1, (1-2)^2 = (-1)^2 = 1. Подходит.

Оба корня подходят.

Ответ: x = -2 и x = 1