О20.20. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку M: а) y = 3x² − 4x, M(2; 19); б) y = 3/x² + 1, M(−0,5; −3); в) y = 4x³ + 3x², M(1; −12); г) y = 2x − 5/x², M(1/4; 7).

Ищем первообразную, затем используем координаты точки M, чтобы найти C.

1. а) F(x) = x³ − 2x² + C. Из условия F(2) = 19: 8 − 8 + C = 19, поэтому C = 19. F(x) = x³ − 2x² + 19.
2. б) F(x) = −3/x + x + C. Из условия F(−0,5) = −3: 6 − 0,5 + C = −3, поэтому C = −17/2. F(x) = −3/x + x − 17/2.
3. в) F(x) = x⁴ + x³ + C. Из условия F(1) = −12: 1 + 1 + C = −12, поэтому C = −14. F(x) = x⁴ + x³ − 14.
4. г) F(x) = x² + 5/x + C. Из условия F(1/4) = 7: 1/16 + 20 + C = 7, поэтому C = −209/16. F(x) = x² + 5/x − 209/16.