О20.21. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку M: а) y = sin x, M(π/3; 1/4); б) y = 5/cos²(5x), M(π/4; −1); в) y = cos x, M(π/6; 1); г) y = 1/sin²(x/3), M(3π/4; 0).

Находим первообразную и подставляем координаты точки M для определения C.

1. а) F(x) = −cos x + C. Из F(π/3) = 1/4 получаем −1/2 + C = 1/4, значит C = 3/4. F(x) = −cos x + 3/4.
2. б) F(x) = tan(5x) + C. Из F(π/4) = −1 получаем tan(5π/4) + C = −1. Так как tan(5π/4) = 1, C = −2. F(x) = tan(5x) − 2.
3. в) F(x) = sin x + C. Из F(π/6) = 1 получаем 1/2 + C = 1, значит C = 1/2. F(x) = sin x + 1/2.
4. г) F(x) = −3 cot(x/3) + C. Из F(3π/4) = 0 получаем −3 cot(π/4) + C = 0, поэтому C = 3. F(x) = −3 cot(x/3) + 3.