О40.14. а) 2^{2x} − 6 · 2^x + 8 = 0; б) 3^{2x} − 6 · 3^x − 27 = 0; в) (1/6)^{2x} − 5 · (1/6)^x − 6 = 0; г) (1/6)^{2x} + 5 · (1/6)^x − 6 = 0.

Question

Вопрос: $Фото задания: О40.14. а) 2^{2x} − 6 · 2^x + 8 = 0; б) 3^{2x} − 6 · 3^x − 27 = 0; в) (1/6)^{2x} − 5 · (1/6)^x − 6 = 0; г) (1/6)^{2x} + 5 ·…$ Фото задания

О40.14. а) 2^{2x} − 6 · 2^x + 8 = 0; б) 3^{2x} − 6 · 3^x − 27 = 0; в) (1/6)^{2x} − 5 · (1/6)^x − 6 = 0; г) (1/6)^{2x} + 5 · (1/6)^x − 6 = 0.

Accepted Answer

В каждом уравнении заменим выражение с показателем степени на новую переменную.

а) Пусть $t=2^x$, где $t>0$. Тогда $t^2-6t+8=0$, то есть $(t-2)(t-4)=0$. Получаем $t=2$ или $t=4$. Поэтому $2^x=2$, откуда $x=1$, либо $2^x=4$, откуда $x=2$.

б) Пусть $t=3^x>0$. Тогда $t^2-6t-27=0$, то есть $(t-9)(t+3)=0$. С учётом $t>0$ имеем $t=9$. Значит, $3^x=9$, поэтому $x=2$.

в) Пусть $t=(1/6)^x>0$. Тогда $t^2-5t-6=0$, то есть $(t-6)(t+1)=0$. Подходит только $t=6$. Поскольку $(1/6)^x=6=(1/6)^{-1}$, получаем $x=-1$.

г) Пусть $t=(1/6)^x>0$. Тогда $t^2+5t-6=0$, то есть $(t-1)(t+6)=0$. Подходит только $t=1$, следовательно, $(1/6)^x=1$ и $x=0$.

Ответ: а) $x=1, 2$; б) $x=2$; в) $x=-1$; г) $x=0$.