О40.16. а) 4 · (1/16)^x − 17 · (1/4)^x + 4 = 0; б) 0,01^x + 9,9 · (0,1)^x − 1 = 0; в) 3 · (4/9)^x + 7 · (2/3)^x − 6 = 0; г) 5 · (4/25)^x + 23 · (2/5)^x − 10 = 0.

а) Пусть \(t=(1/4)^x>0\). Тогда \((1/16)^x=t^2\), и получаем \(4t^2-17t+4=0\). Разложим: \((4t-1)(t-4)=0\). Значит, \(t=1/4\) или \(t=4\). Из \((1/4)^x=1/4\) следует \(x=1\); из \((1/4)^x=4=(1/4)^{-1}\) следует \(x=-1\).

б) Пусть \(t=(0,1)^x>0\). Тогда \((0,01)^x=t^2\), поэтому \(t^2+9,9t-1=0\). Умножая на 10, получаем \(10t^2+99t-10=0\). Корни: \(t=0,1\) и \(t=-10\); с учётом \(t>0\) остаётся \(t=0,1\). Следовательно, \((0,1)^x=0,1\), откуда \(x=1\).

в) Пусть \(t=(2/3)^x>0\). Тогда \((4/9)^x=t^2\), и уравнение становится \(3t^2+7t-6=0=(3t-2)(t+3)\). Подходит \(t=2/3\), значит, \(x=1\).

г) Пусть \(t=(2/5)^x>0\). Тогда \((4/25)^x=t^2\), поэтому \(5t^2+23t-10=0=(5t-2)(t+5)\). Подходит \(t=2/5\), следовательно, \(x=1\).

Ответ: а) \(x=-1, 1\); б) \(x=1\); в) \(x=1\); г) \(x=1\).