Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Пусть ребро куба равно \(a\), поэтому \(a^3=12\).

Плоскость проходит через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельна третьему ребру. Отсекаемая часть является треугольной призмой.

1. Основание призмы — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами \(\dfrac a2\) и \(\dfrac a2\).
2. Площадь основания: \(S=\dfrac12\cdot\dfrac a2\cdot\dfrac a2=\dfrac{a^2}{8}\).
3. Высота призмы равна ребру куба \(a\), поэтому \(V=\dfrac{a^2}{8}\cdot a=\dfrac{a^3}{8}=\dfrac{12}{8}=\dfrac32\).

Ответ: \(\dfrac32\).