Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √8 и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть сторона квадратной грани равна a, а перпендикулярное к ней ребро — h.

1. Проекция пространственной диагонали на плоскость квадратной грани — диагональ квадрата: \(a\sqrt{2}\).
2. Так как угол между диагональю и плоскостью равен 45°, длина проекции равна \(\sqrt{8}\cos45^\circ=2\). Поэтому \(a\sqrt{2}=2\), откуда \(a=\sqrt{2}\).
3. Перпендикулярная составляющая диагонали: \(h=\sqrt{8}\sin45^\circ=2\).
4. Объем: \(V=a^2h=(\sqrt{2})^2\cdot2=4\).

Ответ: 4.