Объём куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен 54. Найдите объём треугольной пирамиды \(A_1B_1D_1C\).

Обозначим ребро куба через \(a\). Тогда \(a^3=54\).

Основание пирамиды — треугольник \(A_1B_1D_1\), площадь которого равна половине площади грани куба: \(S=\frac{a^2}{2}\). Высота пирамиды равна ребру куба \(a\).

\(V=\frac13Sh=\frac13\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}=\frac{54}{6}=9\).

Ответ: 9