3. Образующая конуса составляет с основанием конуса угол 60°. Площадь основания конуса равна 9л см². Найдите объем конуса.

Рассмотрим задачу, в которой нужно найти объем конуса по известным данным. 1. Дано: - угол между образующей и основанием конуса $$\alpha = 60^\circ$$ - площадь основания конуса $$S_{\text{осн}} = 9\pi \text{ см}^2$$ - найти объем конуса $$V$$ 2. Решение: - Площадь основания конуса связана с радиусом основания формулой: $$S_{\text{осн}} = \pi r^2$$, где $$r$$ - радиус основания. Отсюда найдем радиус: $$r = \sqrt{\frac{S_{\text{осн}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{9\pi}{\pi}} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$ - Тангенс угла между образующей и основанием конуса равен отношению высоты конуса к радиусу основания: $$\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$$, где $$h$$ - высота конуса. Отсюда выразим высоту: $$h = r \cdot \tan(\alpha) = 3 \cdot \tan(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$ - Объем конуса вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$. Подставим значения радиуса и высоты: $$V = \frac{1}{3}\pi (3^2) (3\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi (9) (3\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi (27\sqrt{3}) = 9\pi\sqrt{3} \text{ см}^3$$ Ответ: $$9\pi\sqrt{3} \text{ см}^3$$