Общее условие: \(OO_1\) — ось цилиндра. Найти объём и площадь боковой поверхности цилиндра. 1) \(O_1C=8\), угол \(O_1CO=60^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(O_1OC\), прямой угол которого находится в точке \(O\).

1. Радиус цилиндра: \(r=OC=O_1C\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4\).
2. Высота цилиндра: \(h=OO_1=O_1C\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\).
3. Объём: \(V=\pi r^2h=\pi\cdot4^2\cdot4\sqrt3=64\sqrt3\pi\).
4. Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}}=2\pi rh=2\pi\cdot4\cdot4\sqrt3=32\sqrt3\pi\).

Ответ: \(V=64\sqrt3\pi\), \(S_{\text{бок}}=32\sqrt3\pi\).