3. Общие касательные к двум окружностям пересекаются в точке А. B, C, D и F — точки касания (см. рис. 44). AC = 2,5 см, AD = 4 см. Найдите BD.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

По условию, AC = 2,5 см и AD = 4 см.

Обозначим длину отрезка AB как x. Тогда BD = AB = x, так как B и D - точки касания к соответствующим окружностям.

Также, BC = AB = x, так как касательные, проведенные из точки A к малой окружности равны.

И CF = AC. Тогда CF = 2,5 см.

Аналогично, DF = AD = 4 см.

Так как BC = x и AC = 2,5 см, то AB = AC = 2,5 см.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Так как AB = BD = x, то треугольник равнобедренный.

Рассмотрим отрезки касательных AD и AC. Имеем:

AD = 4 см, AC = 2,5 см.

Так как касательные, проведенные из точки A к окружности, равны, то можем записать: AB = AC и AD = AF. При этом BD = AB, CF = AC и DF = AD

Поскольку AD = AF и AC = AB, а также AB = BD, то получаем пропорцию:

$$ \frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AF} $$

Подставим значения:

$$ \frac{2.5}{4} = \frac{x}{4} $$

Получаем, что x = 2,5 см.

Следовательно, BD = 2,5 см.

Ответ: BD = 2,5 см