8. Объём пирамиды с равными рёбрами (3 Б.) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, все боковые рёбра пирамиды с плоскостью основания образуют углы 45°. Вычисли объём пирамиды.

Пусть в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 3 см и AC = 4 см. Так как все боковые ребра образуют с плоскостью основания углы 45°, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника ABC. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы BC.

Найдем гипотенузу BC по теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ см

Тогда радиус описанной окружности: $$R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$ см

Пусть O - проекция вершины пирамиды S на плоскость основания. Тогда SO - высота пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где угол SAO = 45°. Так как это прямоугольный треугольник и один из углов равен 45°, то второй угол тоже равен 45°, а значит, треугольник SOA равнобедренный, и SO = AO = R = 2.5 см.

Площадь основания (прямоугольного треугольника): $$S_{осн} = \frac{1}{2} * AB * AC = \frac{1}{2} * 3 * 4 = 6$$ см²

Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} * S_{осн} * SO = \frac{1}{3} * 6 * 2.5 = 5$$ см³

Ответ: 5 см³