48. (ОБЗ) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 31°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о вписанных углах и свойствах четырехугольников, вписанных в окружность.

В частности, нам потребуется свойство о том, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1. Угол ABD равен 75°. Угол CAD равен 31°.

2. Угол ACD опирается на ту же дугу, что и угол ABD, следовательно, угол ACD = угол ABD = 75°.

3. Угол ACB опирается на ту же дугу, что и угол ADB, а угол ADB мы не знаем.

4. Угол ABC состоит из двух углов: угла ABD и угла DBC. Угол ABD нам известен (75°).

5. Угол ABC = угол ABD + угол DBC.

6. Угол DBC опирается на ту же дугу, что и угол DAC, следовательно, угол DBC = угол DAC = 31°.

7. Угол ABC = угол ABD + угол DBC = 75° + 31° = 106°.

Ответ: 106