4. (ОБЗ) Найдите объём многогранника, верши- нами которого являются вершины А, B, C, D, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDABCD1, у которого АВ-4, ВС-7, BB1-3.

Для решения данной задачи необходимо найти объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDА₁B₁C₁D₁.

Объем данного многогранника можно найти как разность между объемом параллелепипеда и объемом пирамиды CС₁B₁B.

Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты: $$V_{параллелепипеда} = AB \cdot BC \cdot BB_1 = 4 \cdot 7 \cdot 3 = 84$$

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{CC_1B_1B} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot (CC_1 \cdot C_1B_1) \cdot AB$$

Площадь грани CC₁B₁B параллелепипеда равна: $$S_{CC_1B_1B}= CC_1 \cdot C_1B_1 = 3 \cdot 7 = 21$$

Тогда объем пирамиды равен: $$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 21 \cdot 4 = 28$$

Объем искомого многогранника равен разности объемов параллелепипеда и пирамиды: $$V = V_{параллелепипеда} - V_{пирамиды} = 84 - 28 = 56$$

Ответ: 56