6. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Необходимо найти объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S, где O - центр основания (квадрата ABCD). SO - высота пирамиды, и SO = 3. Боковое ребро SA = 5.

Так как O - центр квадрата ABCD, то AO = \(\frac{1}{2}\)AC. AC - диагональ квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора:

$$SA^2 = SO^2 + AO^2$$

$$AO^2 = SA^2 - SO^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$

$$AO = \sqrt{16} = 4$$

Так как AO = 4, то AC = 2AO = 2 \(\cdot\) 4 = 8. Диагональ квадрата равна 8. Пусть сторона квадрата равна a, тогда по теореме Пифагора для квадрата:

$$a^2 + a^2 = AC^2$$

$$2a^2 = 8^2 = 64$$

$$a^2 = 32$$

$$a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

Площадь основания (квадрата) равна: $$S_{ABCD} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$$

Объем пирамиды равен: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32$$

Ответ: 32