Один из углов параллелограмма равен α. Внутри параллелограмма отметили точку X и получили четыре проекции точки X на все стороны параллелограмма: Y₁, Y₂, Y₃ и Y₄. Найдите отношение площади исходного параллелограмма к площади Y₁Y₂Y₃Y₄.

Обозначим площадь исходного параллелограмма через \(S\), а угол между его сторонами — через \(\alpha\). Пусть стороны, выходящие из одной вершины, заданы векторами \(u\) и \(v\), а точка \(X=su+tv\), где \(0<s,t<1\).

В координатах, заданных сторонами параллелограмма, проекции на нижнюю, правую, верхнюю и левую стороны имеют координаты соответственно:

\(Y_1=(s+t\frac{|v|}{|u|}\cos\alpha,0)\),
\(Y_2=(1,t+(s-1)\frac{|u|}{|v|}\cos\alpha)\),
\(Y_3=(s+(t-1)\frac{|v|}{|u|}\cos\alpha,1)\),
\(Y_4=(0,t+s\frac{|u|}{|v|}\cos\alpha)\).

По формуле площади четырёхугольника через координаты (формуле Гаусса) площадь четырёхугольника проекций составляет половину площади параллелограмма единичных координат, умноженную на \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). Следовательно, \(S_{Y_1Y_2Y_3Y_4}=\frac{S}{2}\sin^2\alpha\).

Тогда искомое отношение:

\(\frac{S}{S_{Y_1Y_2Y_3Y_4}}=\frac{S}{\frac{S}{2}\sin^2\alpha}=\frac{2}{\sin^2\alpha}\).

Ответ: \(2: \sin^2\alpha\), то есть \(\frac{2}{\sin^2\alpha}\).