4. Один из углов прямоугольного треугольника 60°, а сумма длин гипотенузы и меньшего катета 30см. Найдите гипотенузу треугольника.

1. Шаг 1: Определим углы треугольника: В прямоугольном треугольнике один угол 90°, другой 60°, следовательно, третий 180° - 90° - 60° = 30° Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠C = 90°, ∠A = 60°, ∠B = 30° AB - гипотенуза, BC - меньший катет, AB + BC = 30 см
2. Шаг 2: Запишем тригонометрическое соотношение: sin ∠A = BC / AB sin 60° = BC / AB \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = BC / AB BC = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) AB
3. Шаг 3: Подставим выражение для BC в уравнение: AB + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) AB = 30 AB (1 + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = 30 AB (\(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\)) = 30 AB = 30 * \(\frac{2}{2 + \sqrt{3}}\) = \(\frac{60}{2 + \sqrt{3}}\)
4. Шаг 4: Избавимся от иррациональности в знаменателе: AB = \(\frac{60 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}\) = \(\frac{60 (2 - \sqrt{3})}{4 - 3}\) = 60 (2 - \(\sqrt{3}\)) = 120 - 60\(\sqrt{3}\) ≈ 16.077 см

Ответ: 120 - 60\(\sqrt{3}\) ≈ 16.077 см