17.1. 2) Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 4 см. Найди- те эти стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен $$60^{\circ}$$. Тогда другой острый угол равен $$90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.

Пусть $$a$$ - меньший катет (против угла $$30^{\circ}$$), $$b$$ - больший катет, $$c$$ - гипотенуза.

Из условия задачи известно, что $$c - a = 4 \text{ см}$$.

В прямоугольном треугольнике против угла в $$30^{\circ}$$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $$a = \frac{1}{2} c$$.

Выразим гипотенузу через $$a$$: $$c = 2a$$.

Подставим выражение для $$c$$ в уравнение $$c - a = 4$$:

$$2a - a = 4$$

$$a = 4 \text{ см}$$.

Тогда $$c = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$.

Катет $$b$$ найдем по теореме Пифагора:

$$b^2 = c^2 - a^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$$

$$b = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$.

Ответ: меньший катет равен 4 см, гипотенуза равна 8 см, больший катет равен $$4\sqrt{3}$$ см.