1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 9. Найдите гипотенузу треугольника.

Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника как $$c$$, а меньший катет как $$a$$. По условию, разность между гипотенузой и меньшим катетом равна 9, то есть:

$$ c - a = 9 $$

Из этого уравнения выразим гипотенузу:

$$ c = a + 9 $$

Поскольку один из углов треугольника равен 30 градусам, меньший катет лежит против этого угла. В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов, меньший катет равен половине гипотенузы:

$$ a = \frac{1}{2} c $$

Подставим выражение для $$c$$ из первого уравнения:

$$ a = \frac{1}{2} (a + 9) $$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$ 2a = a + 9 $$

Решим уравнение относительно $$a$$:

$$ 2a - a = 9 a = 9 $$

Теперь найдем гипотенузу, используя выражение для $$c$$:

$$ c = a + 9 = 9 + 9 = 18 $$

Ответ: 18