Один из внешних углов треугольника в 2 раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним, внутренних углов. Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — два внешних угла треугольника, а \( \gamma = 45° \) — внутренний угол, не смежный с ними.

Пусть \( \alpha = 2 \beta \) (один внешний угол в 2 раза больше другого).

Внутренний угол, смежный с \( \alpha \), равен \( 180° - \alpha \).

Внутренний угол, смежный с \( \beta \), равен \( 180° - \beta \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( (180° - \alpha) + (180° - \beta) + \gamma = 180° \)

\( 180° - \alpha + 180° - \beta + 45° = 180° \)

\( 225° - \alpha - \beta = 0 \)

\( \alpha + \beta = 225° \)

Подставим \( \alpha = 2 \beta \) в уравнение:

\( 2 \beta + \beta = 225° \)

\( 3 \beta = 225° \)

\( \beta = \frac{225°}{3} = 75° \)

Теперь найдем \( \alpha \):

\( \alpha = 2 \beta = 2 \cdot 75° = 150° \)

Разность между этими внешними углами:

\( \alpha - \beta = 150° - 75° = 75° \)

Ответ: 75°.