Одинаковые цифры. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра — не двойка, а все остальные — двойки. 2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.

Пусть в записи числа n цифр, а отличающаяся цифра равна d.

Если n чётно, разность сумм цифр на чередующихся местах для записи из одних двоек равна 0. Замена одной двойки на d изменит эту разность на ±(d − 2). Для делимости на 11 необходимо, чтобы d − 2 делилось на 11, но для цифры d, отличной от 2, это невозможно.

Значит, n нечётно. Для записи из n двоек чередующаяся разность равна 2. Чтобы после замены одной цифры получить разность, делящуюся на 11, отличающаяся цифра должна быть 0 или 4.

Условие делимости на 9 даёт 2(n − 1) + d, кратное 9. При d = 0 получаем n ≡ 1 (mod 9); наименьшее подходящее нечётное n больше 1 — 19. При d = 4 получаем n ≡ 8 (mod 9); наименьшее подходящее нечётное n — 17. Число из 16 двоек и одной четвёрки, где четвёрка стоит на месте с минусом в проверке делимости на 11, действительно делится на 99.

Ответ: 17