5. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними: \(S = a \cdot b \cdot sin \alpha\). Выразим синус угла через тангенс.

Так как \(tg \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}\), то \(\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{4}\). Возведём в квадрат обе части равенства: \(\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}\). Выразим косинус через синус: \(cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\). Тогда

$$\frac{sin^2 \alpha}{1 - sin^2 \alpha} = \frac{1}{8}$$

$$8sin^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$$

$$9sin^2 \alpha = 1$$

$$sin^2 \alpha = \frac{1}{9}$$

$$sin \alpha = \frac{1}{3}$$

Тогда площадь параллелограмма равна \(S = 12 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = 20\).

Ответ: 20