7. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $$a = 12$$ и $$b = 5$$, а тангенс одного из углов равен $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$. Площадь параллелограмма можно найти по формуле $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$. Нам нужно найти $$\sin(\alpha)$$. Мы знаем, что $$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$. Также известно, что $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$. Выразим $$\cos(\alpha)$$ через $$\sin(\alpha)$$: $$\cos(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sin(\alpha)}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\sin(\alpha)$$. Теперь подставим это выражение в основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(\alpha) + (2\sqrt{2}\sin(\alpha))^2 = 1$$ $$\sin^2(\alpha) + 8\sin^2(\alpha) = 1$$ $$9\sin^2(\alpha) = 1$$ $$\sin^2(\alpha) = \frac{1}{9}$$ $$\sin(\alpha) = \pm \frac{1}{3}$$ Так как угол параллелограмма может быть как острым, так и тупым, мы рассмотрим оба случая. Если $$\alpha$$ острый, то $$\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$$. Если $$\alpha$$ тупой, то $$\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$$ (синус тупого угла равен синусу смежного острого угла). Теперь найдем площадь параллелограмма: $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20$$ Ответ: 20