Одна из сторон треугольника лежит в плоскости α. Докажите, что прямая, проходящая через середины двух других сторон треугольника, параллельна плоскости α.

Пусть сторона \(AB\) треугольника лежит в плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) не принадлежит этой плоскости. Обозначим середины сторон \(AC\) и \(BC\) через \(M\) и \(N\).

1. По теореме о средней линии треугольника \(MN \parallel AB\).
2. Плоскости треугольника \(ABC\) и \(\alpha\) пересекаются по прямой \(AB\). Так как \(MN \parallel AB\) и \(MN\) не совпадает с \(AB\), прямая \(MN\) не пересекает \(AB\), а значит, и плоскость \(\alpha\).
3. Следовательно, \(MN \parallel \alpha\).

Замечание: доказательство использует стандартное для задачи предположение, что вершина \(C\) не лежит в \(\alpha\). Если весь треугольник лежит в этой плоскости, утверждение о параллельности в смысле отсутствия общих точек неверно.