Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Образующая конуса равна \(\sqrt{8192}\). Найдите радиус шара.

Решение:

Пусть \(R\) — радиус шара, а \(r\) — радиус основания конуса. По условию, \(r = R\).

Пусть \(h\) — высота конуса. Образующая конуса \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\).

По условию, \(l = \sqrt{8192}\).

\( \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8192} \)

\( r^2 + h^2 = 8192 \)

Так как \(r = R\), то \( R^2 + h^2 = 8192 \).

Рассмотрим осевое сечение конуса и сферы. Это будет равнобедренный треугольник, вписанный в окружность (большой круг сферы). Основание треугольника равно \(2r = 2R\), а боковые стороны — образующие \(l\).

Центр сферы лежит на оси симметрии конуса (высоте \(h\)). Расстояние от центра сферы до вершины конуса равно \(R\). Расстояние от центра сферы до основания конуса равно \(|h - R|\).

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания конуса \(r\), расстоянием от центра сферы до основания конуса \(|h - R|\) и радиусом сферы \(R\), выполняется теорема Пифагора:

\( r^2 + (h-R)^2 = R^2 \)

Так как \(r = R\), имеем:

\( R^2 + (h-R)^2 = R^2 \)

\( (h-R)^2 = 0 \)

\( h - R = 0 \)

\( h = R \)

Теперь подставим \(h = R\) в уравнение \( R^2 + h^2 = 8192 \):

\( R^2 + R^2 = 8192 \)

\( 2R^2 = 8192 \)

\( R^2 = 4096 \)

\( R = \sqrt{4096} = 64 \)

Ответ: 64