Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $$12\sqrt{2}$$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра и конуса как $$r$$, тогда высота цилиндра и конуса также равна $$r$$. Площадь боковой поверхности конуса $$S_{бок.кон} = \pi r l$$, где $$l$$ - образующая конуса. Образующую можно найти по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$$. Тогда $$S_{бок.кон} = \pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2 \sqrt{2}$$. По условию, $$S_{бок.кон} = 12\sqrt{2}$$, следовательно, $$\pi r^2 \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$. Отсюда $$\pi r^2 = 12$$. Площадь боковой поверхности цилиндра $$S_{бок.цил} = 2\pi r h$$, где $$h$$ - высота цилиндра. Так как $$h = r$$, то $$S_{бок.цил} = 2\pi r^2$$. Подставляем $$\pi r^2 = 12$$ в формулу для площади боковой поверхности цилиндра: $$S_{бок.цил} = 2(12) = 24$$. Ответ: 24