8. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Ки Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 18, а сторона ВС в 1,2 раза меньше стороны АВ.

8. Т.к. окружность проходит через точки K, P, B и C, то вокруг четырехугольника KBCP можно описать окружность.

Тогда ∠BKP + ∠BCP = 180° (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°).

∠BCP + ∠BCA = 180° (смежные углы).

Тогда ∠BKP = ∠BCA.

Рассмотрим треугольники AKP и ABC.

∠A - общий, ∠BKP = ∠BCA.

Тогда треугольники AKP и ABC подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB} $$

По условию BC = AB / 1.2, тогда AB = 1.2 * BC.

Тогда:

$$ \frac{KP}{BC} = \frac{18}{1.2 \cdot BC} $$ $$ KP = \frac{18 \cdot BC}{1.2 \cdot BC} = \frac{18}{1.2} = 15 $$

KP = 15.

Ответ: 15