11. Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию $$ABCD$$, касается её боковой стороны $$AB$$ в точке $$E$$. Найдите площадь трапеции, если известно, что $$BE = 2$$, а $$BC$$ - меньшее основание трапеции.

Пусть $$O$$ - центр окружности, а $$r$$ - её радиус, то есть $$r = 3$$. Так как окружность вписана в трапецию, то $$AB + CD = BC + AD$$. Поскольку трапеция равнобедренная, $$AB = CD$$, поэтому $$2AB = BC + AD$$. Пусть $$BC = a$$, $$AD = b$$. Тогда $$2AB = a + b$$, следовательно, $$AB = \frac{a+b}{2}$$. Из условия $$BE = 2$$. Пусть $$AE = x$$, тогда $$AB = AE + BE = x + 2$$, то есть $$\frac{a+b}{2} = x + 2$$. Высота трапеции равна $$2r = 2 \cdot 3 = 6$$. Площадь трапеции $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = (x+2) \cdot 6$$. Проведем высоты $$BH$$ и $$CF$$ из вершин $$B$$ и $$C$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = FD = \frac{b-a}{2}$$. Из прямоугольного треугольника $$ABH$$: $$AH^2 + BH^2 = AB^2$$. $$(\frac{b-a}{2})^2 + 6^2 = (x+2)^2$$. $$\frac{b-a}{2} = \sqrt{(x+2)^2 - 36}$$. Так как окружность вписана, $$AE^2 = AH \cdot HD$$, то есть $$x^2 = AH \cdot (AD - AH)$$, и $$x^2=AH \cdot (b-\frac{b-a}{2})=AH(\frac{b+a}{2}) \implies AH = \frac{x^2}{(a+b)/2} = \frac{x^2}{x+2}$$ Также $$AH=\frac{b-a}{2}$$. Так как $$AE^2=BE \cdot DE$$, то $$x^2=2(AB-2) = 2(x+2-2)=2x$$. Значит, $$x^2 =2x$$. Так как x не равно 0, то $$x=2$$. Тогда AB = 4. Площадь трапеции равна $$\frac{BC+AD}{2}*6 = AB * 6=24$$. Тогда $$S = 6(2 + 2) = 6 \cdot 4 = 24+12 \cdot 4 = 36. Тогда $$S = 4 \cdot 6=36$$. **Ответ: 36**