11. Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны AB в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что BE = 2, a BC - меньшее основание трапеции.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства вписанной окружности в равнобедренную трапецию. 1. Свойство 1: Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. 2. Свойство 2: Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, т.е., $$h = 2r = 2 cdot 3 = 6$$. Пусть $$BC = a$$ и $$AD = b$$ - основания трапеции, и $$AB = CD$$ - боковые стороны. Тогда $$a + b = 2AB$$. Так как окружность касается $$AB$$ в точке $$E$$, и $$BE = 2$$, можно найти длину $$AE$$. Пусть $$O$$ - центр окружности. Тогда $$OE perp AB$$ и $$OE = r = 3$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOE$$. Пусть $$AE = x$$. Тогда $$AE^2 + OE^2 = AO^2$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и частью большего основания. Пусть $$AH$$ - высота, опущенная из вершины $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = 6$$. Также $$HD = rac{b - a}{2}$$. Имеем $$AB = AE + EB = x + 2$$. По теореме Пифагора для треугольника $$ABH$$: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$(x + 2)^2 = 6^2 + (\frac{b - a}{2})^2$$ Т.к. $$a+b = 2(x+2)$$, $$b-a = 2(x+2) - 2a = 2(x+2-a)$$. $$(x+2)^2 = 36 + (x+2-a)^2$$ Из условия касания окружности, $$AE = \frac{b}{2}$$ и $$BE = \frac{a}{2}$$, следовательно $$x = \frac{b}{2}$$ и $$2 = \frac{a}{2}$$, значит $$a = 4$$. Тогда $$x = \frac{b}{2}$$, а $$a = 4$$, и из условия $$a + b = 2(x + 2)$$, получаем $$4 + b = 2(\frac{b}{2} + 2)$$, что выполняется при любом $$b$$. Теперь подставим $$a = 4$$ и $$x = \frac{b}{2}$$ в уравнение $$(x+2)^2 = 36 + (x+2-a)^2$$: $$(\frac{b}{2} + 2)^2 = 36 + (\frac{b}{2} + 2 - 4)^2$$ $$(\frac{b}{2} + 2)^2 = 36 + (\frac{b}{2} - 2)^2$$ $$\frac{b^2}{4} + 2b + 4 = 36 + \frac{b^2}{4} - 2b + 4$$ $$4b = 36$$ $$b = 9$$ Теперь мы знаем $$a = 4$$ и $$b = 9$$, и $$h = 6$$. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{a + b}{2} cdot h = \frac{4 + 9}{2} cdot 6 = \frac{13}{2} cdot 6 = 13 cdot 3 = 39$$ Ответ: 39