12. В основании четырёхугольной пирамида SABCD лежит прямоугольник ABCD, а боковые ребра SC и SD равны. Точки M и N – середины рёбер AB и DC соответственно. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых. 1) прямые SD и BC 2) прямые AB и SN 3) прямые SM и DC 4) прямые SC и MN В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$ в основании пирамиды $$SABCD$$, где $$M$$ и $$N$$ - середины сторон $$AB$$ и $$DC$$ соответственно. Значит, $$MN$$ - средняя линия прямоугольника $$ABCD$$, и $$MN$$ перпендикулярна $$AB$$ и $$DC$$. 1) $$SD$$ и $$BC$$. Поскольку $$SD$$ - наклонная к плоскости основания, и $$BC$$ лежит в этой плоскости, перпендикулярность не гарантирована. 2) $$AB$$ и $$SN$$. Поскольку $$SN$$ - наклонная к плоскости основания, и $$AB$$ лежит в этой плоскости, перпендикулярность не гарантирована. 3) $$SM$$ и $$DC$$. Поскольку $$M$$ и $$N$$ - середины $$AB$$ и $$DC$$ соответственно, и $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$MN$$ - ось симметрии прямоугольника. Значит, $$SM$$ и $$DC$$ могут быть перпендикулярны. Докажем это. Т.к. $$ABCD$$ - прямоугольник, $$AB \parallel CD$$, $$M$$ - середина $$AB$$, $$N$$ - середина $$CD$$, то $$SM$$ и $$MN$$ лежат в одной плоскости. Т.к. $$SM$$ проектируется на $$MN$$, то необходимо проверить, перпендикулярна ли $$SM$$ наклонной $$MN$$ или нет. $$SC = SD$$, $$CD = AB$$, значит $$\triangle SCD$$ - равнобедренный и $$\triangle SAB$$ - равнобедренный. Поэтому $$SM$$ перпендикулярна $$AB$$, а значит $$SM$$ перпендикулярна $$DC$$ (т.к. $$AB \parallel DC$$). 4) $$SC$$ и $$MN$$. Так как $$SC$$ и $$MN$$ не лежат в одной плоскости, перпендикулярность не очевидна. Таким образом, только прямые $$SM$$ и $$DC$$ перпендикулярны. Ответ: 3