11. Окружность с радиусом 4, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что DE=8, а AD - большее основание.

Пусть окружность с радиусом $$r = 4$$ вписана в равнобедренную трапецию $$ABCD$$. Окружность касается стороны $$CD$$ в точке $$E$$, при этом $$DE = 8$$. Также $$AD$$ - большее основание. Нужно найти площадь трапеции. 1. Обозначения и построения: * Пусть $$CF$$ - высота трапеции, опущенная из вершины $$C$$ на основание $$AD$$. * Пусть $$CE = x$$. Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: $$AD + BC = AB + CD$$. * Трапеция равнобедренная, поэтому $$AB = CD$$, следовательно $$AD + BC = 2CD$$. * $$CD = CE + ED = x + 8$$. 2. Свойства касательных: Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы длин ее противоположных сторон равны. То есть $$BC+AD = AB+CD$$. Так как $$AB=CD$$, то $$BC+AD = 2CD$$. 3. Высота трапеции: Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, поэтому $$CF = 2r = 2 cdot 4 = 8$$. 4. Связь между отрезками: Проведём высоту $$BH$$ из вершины $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = rac{AD - BC}{2}$$. 5. Теорема Пифагора: Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CFD$$. $$CD^2 = CF^2 + FD^2$$. $$FD = AD - AF = AD - BC$$. В прямоугольном треугольнике CFD $$CD = x + 8$$ и $$CF = 8$$, таким образом $$(x+8)^2 = 8^2 + FD^2$$, $$(x+8)^2 = 64 + FD^2$$ 6. Свойство описанного четырехугольника: Для описанного четырехугольника $$ABCD$$ выполняется: $$AB + CD = AD + BC$$. В нашем случае $$AB = CD$$, тогда $$2CD = AD + BC$$. 7. Площадь трапеции: Площадь трапеции можно вычислить по формуле $$S = rac{AD+BC}{2} cdot h$$, где $$h$$ - высота трапеции. Так как $$AD + BC = 2CD$$, то $$S = CD cdot h = (x+8) cdot 8 = 8(x+8)$$. 8. Нахождение x: Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности: $$CE = CK$$ и $$DE = DM$$, где $$K$$ и $$M$$ - точки касания окружности с боковыми сторонами $$BC$$ и $$AD$$ соответственно. Так же $$BC+AD=2CD$$. Поскольку вписанная окружность касается основания $$AD$$ в точке $$M$$, а основания $$BC$$ в точке $$K$$, то для равнобедренной трапеции $$CE = sqrt{r^2+ED^2}$$. $$x=CE=\sqrt{DE^2-r^2} = \sqrt{4^2-8^2} = 6$$ Так, как касательные из точки C равны x, а из точки D равны 8, то $$CD = x + 8 = 6 + 8 = 10$$. $$AD+BC=2CD = 20$$. Проведём высоту из вершины B на AD, в результате получим прямоугольный треугольник с катетом, равным высоте 8, и гипотенузой 10, то есть другой катет равен 6, что означает что $$AD-BC=12$$. Имеем систему: $$AD+BC = 20$$ $$AD-BC=12$$. Откуда $$2AD = 32$$, то есть $$AD = 16$$, а $$BC = 4$$. Таким образом площадь трапеции $$S = \frac{16+4}{2}*8 = 80$$ Ответ: Площадь трапеции равна 80.