3. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 6,4 см, а АВ = 6 см.

Пусть окружность с центром О на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB в точке B. Диаметр окружности равен 6.4 см, значит, радиус равен 3.2 см. АВ = 6 см. Нужно найти АС.

Так как окружность касается прямой АВ в точке В, то угол АВО = 90°. Значит, треугольник АВО - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$AO^2 = AB^2 + BO^2$$

Пусть АС = х, тогда АО = АС - ОС = х - 3.2.

$$(x - 3.2)^2 = 6^2 + 3.2^2$$ $$x^2 - 6.4x + 10.24 = 36 + 10.24$$ $$x^2 - 6.4x - 36 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-6.4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 40.96 + 144 = 184.96$$ $$x_1 = \frac{6.4 + \sqrt{184.96}}{2} = \frac{6.4 + 13.6}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{6.4 - 13.6}{2} = \frac{-7.2}{2} = -3.6$$ (не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной).

Тогда АС = 10 см.

Ответ: 10 см.