Окружность с центром O описана около треугольника ABC, OH – перпендикуляр к стороне AC, ∠OAC = 45°. Найдите длину отрезка OH, если AC = 16.

Решение:

1. В треугольнике AOC, OA = OC (радиусы описанной окружности). Следовательно, треугольник AOC равнобедренный.
2. Угол ∠OCA = ∠OAC = 45°.
3. Угол ∠AOC = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.
4. OH – высота, медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике AOC.
5. AC = 2 * AH. Так как AC = 16, то AH = 8.
6. В прямоугольном треугольнике OHA: tan(∠OAH) = OH / AH.
7. tan(45°) = OH / 8.
8. 1 = OH / 8.
9. OH = 8.

Ответ: 8