3. Окружность с центром в точке І вписана в треугольник АВС и касается его стороны АС в точке К. Прямая ВІ пересекает сторону АС в точке Е (рис. 10). Докажите, что угол АIE равен углу СІК.

Дано: Окружность с центром I вписана в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. BI пересекает AC в точке E. Доказать: \(\angle AIE = \angle CIK\). Доказательство: 1. Так как I - центр вписанной окружности, BI - биссектриса угла \(\angle ABC\). Следовательно, \(\angle ABI = \angle CBI\). 2. Рассмотрим треугольник ABI. Угол \(\angle AIE\) является внешним углом для этого треугольника и равен сумме двух других углов, не смежных с ним: \(\angle AIE = \angle BAI + \angle ABI\). 3. Рассмотрим треугольник CBI. \(\angle CIK\) является внешним углом для треугольника CIE и равен сумме двух других углов, не смежных с ним: \(\angle CIK = \angle ICE + \angle CIE\). 4. Так как AC - касательная к окружности в точке K, IK перпендикулярна AC, то есть \(\angle IKC = 90^\circ\). 5. Заметим, что \(\angle CIE\) и \(\angle AIE\) - смежные углы. \(\angle AIE + \angle CIE=180^\circ\) или \(\angle CIE=180^\circ - \angle AIE \). 6. Из условия касания, \(IK\) перпендикулярна \(AC\), тогда \(\angle IKA = \angle IKC = 90^\circ\). 7. Треугольники \(AKI\) и \(CKI\) - прямоугольные. 8. Т.к. \(BI\) - биссектриса, углы \(ABI\) и \(CBI\) равны. \(\angle AIE = \angle BAI + \angle ABI\) = \(\angle ICA + \angle CBI = \angle CIK\) 9. Следовательно, \(\angle BAI = \angle ICA\) , то есть \(\angle BAC = \angle BCA\). Это означает, что треугольник \(ABC\) - равнобедренный с основанием \(BC\). 10. \(\angle AIE = \angle CIK\). Что и требовалось доказать.