Окружность с центром в точке \(O\) описана около равнобедренного треугольника \(ABC\), в котором \(AB = BC\), а \(\angle ABC = 89^{\circ}\). Найдите угол \(BOC\). Ответ дайте в градусах.

Давай решим эту задачу по шагам: 1. Углы при основании \(AC\) в равнобедренном треугольнике \(ABC\) равны. Найдем их: \[\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - \angle ABC}{2}\] \[\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 89^{\circ}}{2}\] \[\angle BAC = \angle BCA = \frac{91^{\circ}}{2} = 45.5^{\circ}\] 2. Центральный угол \(BOC\) опирается на ту же дугу \(BC\), что и вписанный угол \(BAC\). Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Но в данном случае, нам нужен угол \(BOC\), опирающийся на дугу \(BC\). Угол \(BAC\) опирается на дугу \(BC\). Поэтому: \(\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC\) не подходит, так как \(\angle BAC\) опирается на дугу \(BC\) не через точку \(A\). Вместо этого, рассмотрим вписанный угол \(BAC\). Он опирается на дугу \(BC\). Центральный угол \(BOC\) также опирается на эту дугу. Значит, центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Так как треугольник равнобедренный, рассмотрим угол \(BAC\), который опирается на дугу \(BC\). Тогда: \(\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC\) неверен, так как \(\angle BAC\) опирается на дугу \(BC\) через точку \(A\). 3. Рассмотрим углы \(BCA\) и \(BOC\). \(\angle BCA\) является вписанным углом, опирающимся на дугу \(BA\). Но это не поможет найти \(\angle BOC\). 4. Нужно найти центральный угол \(BOC\), который опирается на дугу \(BC\). Рассмотрим вписанный угол \(BAC\), который опирается на дугу \(BC\). Тогда угол \(BOC\) можно найти как: \[\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC\]. Но в нашем случае, \(\angle BAC = 45.5^{\circ}\). Поэтому \(\angle BOC = 2 \cdot 45.5^{\circ} = 91^{\circ}\). Но это неверно, так как центр окружности может лежать внутри треугольника или вне его. 5. Другой подход: Угол \(ABC = 89^{\circ}\). Так как \(O\) - центр описанной окружности, то углы \(OBA\) и \(OBC\) равны, поскольку \(AB=BC\). Значит \(OB\) - биссектриса угла \(ABC\). Угол \(ABO = \frac{89}{2} = 44.5^{\circ}\). Треугольник \(ABO\) равнобедренный, так как \(AO = BO\) (радиусы окружности). Значит, \(BAO = ABO = 44.5^{\circ}\). Угол \(AOB = 180 - 2 \cdot 44.5 = 180 - 89 = 91^{\circ}\). Аналогично, угол \(BOC = 91^{\circ}\). Таким образом, угол \(BOC\) равен 91 градусу.